El Modelo Input-Output: Uso del Sistema Matricial de Ecuaciones

✅Fundamentándose en los trabajos que en el siglo XVIII había iniciado el fundador de la escuela de los fisiócratas, el francés Francisco Quesnay, V. W. Leontief desarrolló y profundizó el análisis input-output o de relaciones interindustriales como método para explicar los flujos de mercancías en una economía y las relaciones entre las demandas finales y las diversas producciones requeridas para satisfacerlas. 

En su forma más simple el modelo de Leontief tiene, entre otras, las siguientes características:

1. Divide la economía en n sectores (que también denomina industrias), cada uno de los cuales produce una única mercancía, esto es, establece una correspondencia biunívoca entre las industrias y las mercancías.
2. Designaremos con Xi la cantidad de mercancía producida por el enésimo sector durante un periodo de tiempo dado.
3. Distribuye el producto de cada sector en dos partes: una sirve como insumo a la industria y la otra va a las exportaciones, al consumo doméstico, a la construcción de nuevas plantas para la producción y a todo uso que no esté incluido como insumo para los sectores industriales. Estos usos los realizan los llamados sectores exógenos y los otros los endógenos.

Usando ecuaciones:

📈📉📊Designaremos con Xij la cantidad de mercancía producida por la industria i que sirve como insumo a la industria j y con ci, la parte del producto de la industria i que no se utiliza como consumo, ci se denomina demanda final de la mercancía i. Supone que el producto de cada sector queda agotado por las compras de los sectores endógenos y exógenos en el periodo analizado. Para cada sector se puede pues, escribir la siguiente ecuación: 

📈Esto es, el producto del sector i es igual a la demanda de los sectores endógenos más la de los sectores exógenos más la de los sectores exógenos(es decir, la demanda final).

📉La cantidad de producto de la industria i necesaria para producir una unidad de mercancía j permanente constante. Esto es, la cantidad de la i-nésima mercancía que se utiliza como insumo para producir una unidad de la j-ésima es un parámetro del sistema (una magnitud exógena).

📊Si para producir Xj unidades la industria j requiere Xij unidades del producto de la industria i, entonces el cociente Xij/Xj permanece constante; este cociente lo denotamos por aij y representa las unidades de producto de la industria i necesarias para producir una unidad de mercancía por la industria j. Por lo tanto, el consumo que el sector j hace del producto del sector i es aijXjy, en consecuencia, la ecuación anterior puede ser escrita así:

Esta última expresión da lugar a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: 

Que empleando la notación matricial, podemos escribir: x=Ax+c

1. Dónde: X es el vector de las cantidades de producción,
2. A es la matriz de coeficientes “Coeficientes Técnicos”,
3. C es el vector de las cantidades de la demanda final.

🔎🔎🔎La expresión x=Ax+c se puede transformar en (I-A) x=c donde I es la matriz identidad. Si, finalmente, hacemos B=I-A el sistema se reduce a: Bx=c

✅Este sistema constituye el sistema básico de ecuaciones del análisis interindustrial de Leontief. En esta aplicación se utilizan los sistemas de ecuaciones lineales y la notación matricial. A nivel general se puede decir que el álgebra lineal permite establecer claras relaciones entre las diversas variables de estudio, en este caso son los flujos de producción entre los diferentes sectores de la economía. Al final lo que hace es efectivamente representar escenarios de la realidad, pues está más que comprobada la interdependencia de los flujos y las llamadas cadenas de suministros en la Economía globalizada del siglo XXI.

Referencias Bibliográficas:

💻Ramírez, P (1992) El Sistema de Leontief y su Solución Matemática. Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Universidad de Antioquia.